Волнами называются всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени.
Механическими называются волны, возникающие в упругих средах, т.е. в средах, в которых возникают силы, препятствующие:
1) деформации растяжения (сжатия);
2) деформации сдвига.
В первом случае возникает продольная волна , в которой колебания частиц среды происходят в направлении распространения колебаний. Продольные волны могут распространяться в твердых, жидких и газообразных телах, т.к. они связаны с возникновением упругих сил при изменении объема .
Во втором случае в пространстве существует поперечная волна , в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения колебаний. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах, т.к. связаны с возникновением упругих сил при изменении формы тела.
Если какое–то тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к нему, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы, Эти силы действуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. С течением времени все большее количество частиц среды оказывается вовлеченным в колебательное движение.
Механические волновые явления имеют огромное значение для повседневной жизни. Например, благодаря звуковым волнам, обусловленным упругостью окружающей среды, мы можем слышать. Эти волны в газах или жидкостях представляют собой колебания давления, распространяющиеся в данной среде. В качестве примеров механических волн можно привести также: 1) волны на поверхности воды, где связь смежных участков поверхности воды обусловлена не упругостью, а силой тяжести и силами поверхностного натяжения; 2) взрывные волны от разрывов снарядов; 3) сейсмические волны – колебания в земной коре, распространяющиеся от места землетрясения.
Отличие упругих волн от любого другого упорядоченного движения частиц среды состоит в том, что распространение колебаний не связано с переносом вещества среды из одного места в другое на большие расстояния.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени, называется фронтом волны. Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один, он все время перемещается. Форма фронта может быть различной в зависимости от формы и размеров источника колебаний и свойств среды.
В случае однородной и изотропной среды от точечного источника распространяются сферические волны, т.е. фронт волны в этом случае – сфера. Если источник колебаний – плоскость, то вблизи нее любой участок фронта волны мало отличается от части плоскости, поэтому волны с таким фронтом называются плоскими.
Предположим, что за время некоторый участок фронта волны переместился на . Величина
называется скоростью распространения фронта волны или фазовой скоростью волны в данном месте.
Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением волны в этой точке, т.е. с направлением переноса энергии, называется лучом . В однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной фронту волны.
Колебания от источника могут быть как гармоническими, так и негармоническими. Соответственно, от источника бегут волны монохроматические и немонохроматические . Немонохроматическая волна (содержащая колебания разных частот) может быть разложена на монохроматические (каждая из которых содержит колебания одной частоты). Монохроматическая (синусоидальная) волна представляет собой абстракцию: такая волна должна быть бесконечно протяженной в пространстве и времени.
Начнем с определения упругой среды. Как можно заключить из названия упругая среда это такая среда в которой действуют силы упругости. Применительно к нашим целям, добавим, что при любом возмущении этой среды (не эмоциональной бурной реакции, а отклонении параметров среды в каком то месте от равновесных) в ней возникают силы, стремящиеся вернуть нашу среду в первоначальное равновесное состояние. При этом мы будем рассматривать протяженные среды. Насколько протяженные это мы уточним в дальнейшем, а пока будем считать, что этого достаточно. Например представим себе длинную пружину, закрепленную с обоих концов. Если в некотором месте пружины сжать несколько витков, то сжатые витки будут стремиться расжаться, а соседние витки, которые оказались растянутыми, будут стремиться сжаться. Таким образом наша упругая среда – пружина будет стараться придти в первоначальное спокойное (невозмущенное) состояние.
Газы, жидкости, твердые тела представляют собой упругие среды. Важным в предыдущем примере является то обстоятельство, что сжатый участок пружины действует на соседние участки, или по ученому говоря, передает возмущение. Похожим образом и в газе, создавая в каком то месте например область пониженного давления, соседние области, стремясь выровнять давление, будут передавать возмущение уже своим соседям, те в свою очередь своим и так далее.
Пара слов о физических величинах. В термодинамике как правило состояние тела определяется общими для всего тела параметрами, давлением газа, его температурой и плотностью. Теперь же нас будет интересовать локальное распределение этих величин.
Если колеблющееся тело (струна, мембрана и т. д.) находится в упругой среде (газ как мы уже знаем это упругая среда), то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды. Вследствие этого в прилегающих к телу элементах среды возникают периодические деформации (например, сжатия и разряжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия; благодаря взаимодействию соседних элементов среды упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим, более удаленным от колеблющегося тела.
Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательные движения около положений равновесия; от одних участков среды к другим передается только состояние деформации.
Когда рыба «клюет» (дергает за крючок), то от поплавка по поверхности воды разбегаются круги. Вместе с поплавком смещаются соприкасающиеся с ним частицы воды, которые вовлекают в движение ближайшие к ним другие частицы и так далее.
Такое же явление происходит с частицами натянутого резинового шнура, если один его конец привести в колебание (рис. 1.1).
Распространение колебаний в среде называют волновым движением Рассмотрим подробнее, как возникает волна на шнуре. Если зафиксировать положения шнура через каждые 1/4 Т (Т - это период, с которым на рис.1.1 колеблется рука) после начала колебаний его первой точки, то получится картина, показанная на рис. 1.2, б-д. Положение а соответствует началу колебаний первой точки шнура. Десять его точек помечены цифрами, а пунктирные прямые показывают, где находятся одни и те же точки шнура в разные моменты времени.
Через 1/4 Т после начала колебания точка 1 занимает крайнее верхнее положение, а точка 2 только начинает свое движение. Поскольку каждая последующая точка шнура начинает свое движение позже предыдущей, то в промежутке 1-2 точки располагаются, как показано на рис. 1.2, б. Еще через 1/4 Т точка 1 займет положение равновесия и будет двигаться вниз, а верхнее положение займет точка 2 (положение в). Точка 3 в этот момент только начинает свое движение.
За целый период колебания распространяются до точки 5 шнура (положение д). По окончании периода Т точка 1, двигаясь вверх, начнет свое второе колебание. Одновременно с ней начнет двигаться вверх и точка 5, совершая свое первое колебание. В дальнейшем эти точки будут иметь одинаковые фазы колебаний. Совокупность точек шнура в интервале 1-5 образует волну. Когда точка 1 закончит второе колебание, на шнуре вовлекутся в движение еще точки 5-10, т. е. образуется вторая волна.
Если проследить за положением точек, имеющих одинаковую фазу, то будет видно, что фаза как бы переходит от точки к точке и движется вправо. Действительно, если в положении б фазу 1/4 имеет точка 1, то в положении в эту же фазу имеет точка 2 и т. д.
Волны, в которых происходит перемещение фазы с определенной скоростью, называют бегущими. При наблюдении за волнами видно именно распространение фазы, например движение гребня волны. Отметим, что все точки среды в волне колеблются около своего положения равновесия и вместе с фазой не перемещаются.
Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом или просто волной .
В зависимости от характера возникающих при этом упругих деформаций различают волны продольные и поперечные . В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль линии, совпадающей с направлением распространения колебаний. В поперечных волнах частицы среды колеблются перпендикулярно к направлению распространения волны. На рис. 1.3 показано расположение частиц среды (условно изображенных в виде черточек) в продольных (а) и поперечных (б) волнах.
Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига и поэтому в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде чередующихся сжатий и разрежений среды. Волны, возбуждаемые на поверхности поды, являются поперечными: они обязаны своим существованием земному тяготению. В твердых телах могут быть вызваны и продольные и поперечные волны; частным видом поперечных воли являются крутильные, возбуждаемые в упругих стержнях, к которым приложены крутильные колебания.
Предположим, что точечный источник волны начал возбуждать в среде колебания в момент времени t = 0; по истечении времени t это колебание распространится по различным направлениям на расстоянии r i =c i t , где с i - скорость волны в данном направлении.
Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны.
Понятно, что фронт волны (волновой фронт) перемещается со временем в пространстве.
Форма фронта волны определяется конфигурацией источника колебаний и свойствами среды. В однородных средах скорость распространения волны везде одинакова. Среда называется изотропной , если эта скорость одинакова по всем направлениям. Фронт волны от точечного источника колебаний в однородном и изотропной среде имеет вид сферы; такие волны называются сферическими .
В неоднородной и не изотропной (анизотропной ) среде, а также от неточечных источников колебаний фронт волны имеет сложную форму. Если фронт волны представляет собой плоскость и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской . Малые участки фронта волны сложной формы можно считать плоской волной (если только рассматривать небольшие расстояния, проходимые этой волной).
При описании волновых процессов выделяют поверхности, в которых все частицы колеблются в одинаковой фазе; эти «поверхности одинаковой фазы» называются волновыми, или фазовыми.
Ясно, что фронт волны представляет собой переднюю волновую поверхность, т.е. наиболее удаленную от источника, создающего волны, и волновые поверхности также могут быть сферическими, плоскими или иметь сложную форму в зависимости от конфигурации источника колебаний и свойств среды. На рис. 1.4 условно показаны: I - сферическая волна от точечного источника, II – волна от колеблющейся пластинки, III - эллиптическая волна от точечного источника в анизотропной среде, в которой скорость распространения волны с плавно изменяется по мере возрастания угла α, достигая максимума вдоль направления АА и минимума вдоль ВВ.
Рассмотрим опыт, показанный на рисунке 69. Длинную пружину подвешивают на нитях. Ударяют рукой по её левому концу (рис. 69, а). От удара несколько витков пружины сближаются, возникает сила упругости, под действием которой эти витки начинают расходиться. Как маятник проходит в своём движении положение равновесия, так и витки, минуя положение равновесия, будут продолжать расходиться. В результате в этом же месте пружины образуется уже некоторое разрежение (рис. 69, б). При ритмичном воздействии витки на конце пружины будут периодически то сближаться, то отходить друг от друга, совершая колебания возле своего положения равновесия. Эти колебания постепенно передадутся от витка к витку вдоль всей пружины. По пружине распространятся сгущения и разрежения витков, как показано на рисунке 69, е.
Рис. 69. Возникновение волны в пружине
Другими словами, вдоль пружины от её левого конца к правому распространяется возмущение, т. е. изменение некоторых физических величин, характеризующих состояние среды. В данном случае это возмущение представляет собой изменение с течением времени силы упругости в пружине, ускорения и скорости движения колеблющихся витков, их смещения от положения равновесия.
- Возмущения, распространяющиеся в пространстве, удаляясь от места их возникновения, называются волнами
В данном определении речь идёт о так называемых бегущих волнах. Основное свойство бегущих волн любой природы заключается в том, что они, распространяясь в пространстве, переносят энергию.
Так, например, колеблющиеся витки пружины обладают энергией. Взаимодействуя с соседними витками, они передают им часть своей энергии и вдоль пружины распространяется механическое возмущение (деформация), т. е. образуется бегущая волна.
Но при этом каждый виток пружины колеблется около своего положения равновесия, и вся пружина остаётся на первоначальном месте.
Таким образом, в бегущей волне происходит перенос энергии без переноса вещества .
В данной теме будем рассматривать только упругие бегущие волны, частным случаем которых является звук.
- Упругие волны - это механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде
Иначе говоря, образование упругих волн в среде обусловлено возникновением в ней упругих сил, вызванных деформацией. Например, если по какому-нибудь металлическому телу ударить молотком, то в нём возникнет упругая волна.
Помимо упругих существуют и другие виды волн, например электромагнитные волны (см. § 44). Волновые процессы встречаются почти во всех областях физических явлений, поэтому их изучение имеет большое значение.
При возникновении волн в пружине колебания её витков происходили вдоль направления распространения волны в ней (см. рис. 69).
- Волны, в которых колебания происходят вдоль направления их распространения, называются продольными волнами
Кроме продольных волн существуют и поперечные волны. Рассмотрим такой опыт. На рисунке 70, а показан длинный резиновый шнур, один конец которого закреплён. Другой конец приводят в колебательное движение в вертикальной плоскости (перпендикулярно горизонтально расположенному шнуру). Благодаря силам упругости, возникающим в шнуре, колебания будут распространяться вдоль шнура. В нём возникают волны (рис. 70, б), причём колебания частиц шнура происходят перпендикулярно направлению распространения волн.
Рис. 70. Возникновение волн в шнуре
- Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению их распространения, называются поперечными волнами
Движение частиц среды, в которой образуются как поперечные, так и продольные волны, можно наглядно продемонстрировать с помощью волновой машины (рис. 71). На рисунке 71, а показана поперечная волна, а на рисунке 71, б - продольная. Обе волны распространяются в горизонтальном направлении.
Рис. 71. Поперечная (а) и продольная (б) волны
На волновой машине представлен только один ряд шариков. Но, наблюдая за их движением, можно понять, как распространяются волны в сплошных средах, протяжённых во всех трёх направлениях (например, в некотором объёме твёрдого, жидкого или газообразного вещества).
Для этого представьте себе, что каждый шарик является частью вертикального слоя вещества, расположенного перпендикулярно к плоскости рисунка. Из рисунка 71, а видно, что при распространении поперечной волны эти слои, подобно шарикам, будут сдвигаться друг относительно друга, совершая колебания в вертикальном направлении. Поэтому поперечные механические волны являются волнами сдвига.
А продольные волны, как видно из рисунка 71, б, - это волны сжатия и разрежения. В этом случае деформация слоев среды состоит в изменении их плотности, так что продольные волны представляют собой чередующиеся уплотнения и разрежения.
Известно, что упругие силы при сдвиге слоев возникают только в твёрдых телах. В жидкостях и газах смежные слои свободно скользят друг по другу без появления противодействующих упругих сил. Раз нет упругих сил, то и образование упругих волн в жидкостях и газах невозможно. Поэтому поперечные волны могут распространяться только в твёрдых телах.
При сжатии и разрежении (т. е. при изменении объёма участков тела) упругие силы возникают как в твёрдых телах, так и в жидкостях и газах. Поэтому продольные волны могут распространяться в любой среде - твёрдой, жидкой и газообразной.
Вопросы
- Что называется волнами?
- В чём заключается основное свойство бегущих волн любой природы? Происходит ли в бегущей волне перенос вещества?
- Что такое упругие волны?
- Приведите пример волн, не относящихся к упругим.
- Какие волны называются продольными; поперечными? Приведите примеры.
- Какие волны - поперечные или продольные - являются волнами сдвига; волнами сжатия и разрежения?
- Почему поперечные волны не распространяются в жидких и газообразных средах?
Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды. Когда какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы. Эти силы воздействуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение.
Тела, которые вызывают распространяющиеся в среде упругие волны, являются источниками волн (колеблющиеся камертоны, струны музыкальных инструментов).
Упругими волнами называются механические возмущения (деформации), производимые источниками, которые распространяются в упругой среде. Упругие волны в вакууме распространяться не могут.
При описании волнового процесса среду считают сплошной и непрерывной, а ее частицами являются бесконечно малые элементы объема (достаточно малые по сравнению с длиной волны), в которых находится большое количество молекул. При распространении волны в сплошной среде частицы среды, участвующие в колебаниях, в каждый момент времени имеют определенные фазы колебания.
Геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах, образует волновую поверхность.
Волновую поверхность, отделяющую колеблющиеся частицы среды от частиц, еще не начавших колебаться, называют фронтом волны В зависимости от формы фронта волны различают волны плоские, сферические и др.
Линия, проведенная перпендикулярно волновому фронту в направлении распространения волны, называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.;;
В плоской волне волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны (рис. 15.1). Плоские волны можно получить на поверхности воды в плоской ванночке с помощью колебаний плоского стержня.
В сферической волне волновые поверхности представляют собой концентрические сферы. Сферическую волну может создать пульсирующий в однородной упругой среде шар. Такая волна распространяется с одинаковой скоростью по всем направлениям. Лучами являются радиусы сфер (рис. 15.2).
Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т.п.). Всем колебаниям независимо от их природы присущи некоторые общие закономерности. Колебания распространяются в среде в виде волн. В данной главе рассматриваются механические колебания и волны.
7.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, т.е. такое, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.
Пусть, например, материальная точка массой т подвешена на пружине (рис. 7.1, а). В этом положении упругая сила F 1 уравновешивает силу тяжести mg. Если оттянуть пружину на расстояние х (рис. 7.1, б), то на материальную точку будет действовать большая упругая сила. Изменение упругой силы, согласно закону Гука, пропорционально изменению длины пружины или смещению х точки:
F = -кх, (7.1)
где к - жесткость пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону положения равновесия: F < 0 при х > 0, F > 0 при х < 0.
Другой пример.
Математический маятник отклонен от положения равновесия на небольшой угол α (рис. 7.2). Тогда траекторию движения маятника можно считать прямой линией, совпадающей с осью ОХ. В этом случае выполняется приближенное равенство
где х - смещение материальной точки относительно положения равновесия; l - длина нити маятника.
На материальную точку (см. рис. 7.2) действуют сила натяжения F H нити и сила тяжести mg. Их равнодействующая равна:
Сравнивая (7.2) и (7.1), видим, что в этом примере равнодействующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смещению материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при мальж деформациях упругих тел, называют квазиупругими.
Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), совершает гармонические колебания.
7.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Кинетическую энергию колеблющейся материальной точки можно вычислить по известной формуле, используя выражение (7.10):
7.3. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекторию результирующего движения, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний.
Рассмотрим две такие задачи.
Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Аналитически такие колебания выражаются следующими уравнениями:
т.е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу π (рис. 7.8, а);
т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу π (рис. 7.8, б). В частности, при А 1 = А 2 имеем А = 0, т.е. колебания нет (рис. 7.8, в).
Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, точка неподвижна. Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармоническим.
Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличаются друг от друга: ω 01 и ω 02
Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медленно изменяющейся амплитудой (амплитудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 7.9).
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое - вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:
Уравнения (7.25) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, можно определить координаты х и у, а совокупность координат и есть траектория.
Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 7.10).
Из выражения (7.26) вытекают некоторые частные случаи:
7.4. СЛОЖНОЕ КОЛЕБАНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛОЖНОГО КОЛЕБАНИЯ
Как видно из 7.3, сложение колебаний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания.
Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции. Такое разложение периодической функции на гармонические и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т.п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Существуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами - анализаторами.
Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.
Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представление выполняется графически. В качестве примера на рис. 7.14, а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляющих его гармонических колебаний (кривые 1, 2 и 3); на рис. 7.14, б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру.
Рис. 7.14, б
Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс. Он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.
7.5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим.
Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:
Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания: чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, однако, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:
При сильном затухании (β 2 >>ω 2 0) из формулы (7.36) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим 1 . Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 7.16. Этот случай применительно к электрическим явлениям рассматривается более подробно в гл. 18.
Незатухающие (см. 7.1) и затухающие колебания называют соб-ственнъми или свободнъми. Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
7.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.
Предположим, что на материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила:
1 Заметим, что если некоторая физическая величина принимает мнимые значения, то это означает какую-то необычность, экстраординарность соответствующего явления. В рассмотренном примере экстраординарность заключается в том, что процесс перестает быть периодическим.
Из (7.43) видно, что при отсутствии сопротивления (β=0) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из (7.42) следует, что ω рез = ω 0 - резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 7.18.
Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и, соответственно, несколько резонансных частот.
Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека (см. 8.7 и 8.8).
7.7. АВТОКОЛЕБАНИЯ
Как было показано в 7.6, колебания могут поддерживаться в системе даже при наличии сил сопротивления, если на систему периодически оказывается внешнее воздействие (вынужденные колебания). Это внешнее воздействие не зависит от самой колеблющейся системы, в то время как амплитуда и частота вынужденных колебаний зависят от этого внешнего воздействия.
Однако существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.
Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы - автоколебательными.
Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.
Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами:
1) собственно колебательная система;
2) источник энергии;
3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему.
Колебательная система каналом обратной связи (рис. 7.19) воздействует на регулятор, информируя регулятор о состоянии этой системы.
Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря - источником энергии, а анкер - регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.
Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы - генераторы электромагнитных колебаний (см. гл. 23).
7.8. УРАВНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЛН
Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.
Различают два основных вида механических волн: упругие волны - распространение упругих деформаций - и волны на поверхности жидкости.
Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.
Уравнение волны выражает зависимость смещения s колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени.
Для волны, распространяющейся вдоль некоторого направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде:
Если s и х направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.
Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространяется вдоль оси Х (рис. 7.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний) уравнением
Решение уравнений с частными производными выходит за пределы данного курса. Одно из решений (7.45) известно. Однако важно отметить следующее. Если изменение какой-либо физической величины: механической, тепловой, электрической, магнитной и т.д., - отвечает уравнению (7.49), то это означает, что соответствующая физическая величина распространяется в виде волны со скоростью υ.
7.9. ПОТОК ЭНЕРГИИ ВОЛН. ВЕКТОР УМОВА
Волновой процесс связан с переносом энергии. Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии.
Поток энергии волн равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течение которого эта энергия перенесена:
Единицей потока энергии волн является ватт (Вт). Найдем связь потока энергии волн с энергией колеблющихся точек и скоростью распространения волны.
Выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.21), площадь поперечного сечения которого S, а длина ребра численно равна скорости υ и совпадает с направлением распространения волны. В соответствии с этим за 1 с сквозь площадку S пройдет та энергия, которой обладают колеблющиеся частицы в объеме параллелепипеда Sυ. Это и есть поток энергии волн:
7.10. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Один из распространенных примеров механической волны - звуковая волна (см. гл. 8). В этом случае максимальная скорость колебаний отдельной молекулы воздуха составляет несколько сантиметров в секунду даже для достаточно большой интенсивности, т.е. она значительно меньше скорости волны (скорость звука в воздухе около 300 м/с). Это соответствует, как принято говорить, малым возмущениям среды.
Однако при больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т.п.) скорость колеблющихся частиц среды может уже стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударная волна.
При взрыве высоконагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают слои окружающего воздуха. С течением времени объем сжатого воздуха возрастает. Поверхность, которая отделяет сжатый воздух от невозмущенного, в физике называют ударной волной. Схематично скачок плотности газа при распространении в нем ударной волны показан на рис. 7.22, а. Для сравнения на этом же рисунке показано изменение плотности среды при прохождении звуковой волны (рис. 7.22, б).
Рис. 7.22
Ударная волна может обладать значительной энергией, так при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.
7.11. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
Эффектом Допплера называют изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.
