«Презентация на тему:» Интегралы и их применение в жизни человека. Презентация на тему "интеграл и его применение"

Владимир 2002 год

Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р у л л и (1690 г.) Вероятн о, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводи ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инт грал иное: слово integer означает целый.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что в е первообразные функции отличаются на произвольн ю постоянн ю. b

называют определенным интегралом (обо начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертика ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равн ю бесконечно малой величине f(х) . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезн м при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Ч бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Интеграл и его применение в жизни человека.
Цель: изучение и использование интеграла в деятельности человека. Задачи: узнать что такое интеграл; выявить все сферы деятельности человека где применяется интеграл;выяснить какое значение интеграл занимает в жизни человека. Ученый, создавший интеграл.Евдокс Книдский. Дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. При доказательстве он использовал так называемый метод «исчерпывания» их радиусов. Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования. Что такое интеграл? Интеграл (от лат.Integer – целый) –интегралом называется величина, обратная дифференциалу функции. Многие физические и другие задачи сводятся к решению сложных дифференциальных или интегральных уравнений. Для этого необходимо знать, что представляют собой дифференциальное и интегральное исчисление.𝑓𝑥𝑑𝑥 Символ  введен Готфрид Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Якоб Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integro, которое переводится как восстанавливать. Я. БернуллиГ. Лейбниц Применение интеграла. В геометрии.Площадь плоской фигуры.Определение: Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции 𝑓(𝑥), осью абсцисс и прямыми 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏, называется криволинейной трапецией.Теорема. Если 𝑓(𝑥) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [𝑎;𝑏], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна определенному интегралу на этом отрезке.𝑆 =𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥= 𝐹(𝑏)–𝐹(𝑎) Объем фигур вращения.Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.Функция 𝑆(𝑥)𝑓(𝑥) фигуры вращения есть круг.𝑆сеч = 𝑟2 Sсеч(𝑥)=𝜋𝑓 2(𝑥)𝑉= 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥)𝑑𝑥 В физике.Координаты центра масс.Центр масс – точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела. Пусть материальная однородная пластина имеет форму криволинейной трапеции 𝑥;𝑦 𝑎≤𝑥≤𝑏; 0≤𝑦≤𝑓(𝑥)} и функция 𝑦=𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎;𝑏], а площадь этой криволинейной трапеции равна 𝑆, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:𝑥0 = 1𝑆 𝑎𝑏𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥; 𝑦0 = 12𝑆 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥) 𝑑𝑥; Работа силы 𝐴=𝐹𝑆𝑐𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑠 1. Если на частицу действует сила 𝐹, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно𝑑(𝑚2/2) = 𝐹𝑑𝑠приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению 𝐹𝑑𝑠, где 𝑑𝑠 – перемещение частицы за время 𝑑𝑡. Величина𝑑𝐴=𝐹𝑑𝑠называется работой, совершаемой силой F.А = 𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥 Путь, пройденный материальной точкой.Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью 𝑣=𝑣(𝑡) и за время 𝑇= 𝑡2–𝑡1 (𝑡2>𝑡1) прошла путь 𝑆, то 𝑆=𝑡1𝑡2𝑣(𝑡)𝑑𝑡. В экономикеВ курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией 𝑦 =𝑓(𝑥), рассматривают ее производную 𝑓′(𝑥). Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара 𝐶= 𝐶(𝑞), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС=С′(q). Ее экономический смысл – это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек. В биологииСредняя длина пролета.Нас интересует средняя длина пролета. Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета - это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и 𝐴𝐶1𝐵. Иными словами, это среднее зна­чение функции 𝑓1𝑥−𝑓2𝑥, где 𝑦=𝑓1𝑥 – уравнение верхней дуги, а 𝑦=𝑓2𝑥 уравнение нижней дуги, т. е.𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 Так как 𝑎𝑏𝑓1𝑥𝑑𝑥 равен площади криволинейной трапеции аАСВb, 𝑎𝑏𝑓2𝑥𝑑𝑥 равен площади криволинейной трапеции аА𝐶1Вb, то их разность равна площади круга, т. е. 𝜋𝑅2. Разность 𝑏−а равна 2R. Подставив это в 𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 , получим: 𝐿=𝜋𝑅22𝑅=𝜋2𝑅

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9

Cлайд 10

Cлайд 11

Cлайд 12

Cлайд 13

Cлайд 14

Cлайд 15

Cлайд 18

Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский

Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.

Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.

План урока:

1. Защита проекта:

1. из истории интегрального исчисления;
2. свойства интеграла;
3. применение интеграла в математике;
4. применение интеграла в физике;

2. Решение упражнений.

Ход урока

Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.

2 ученик: Свойства интеграла

3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).

4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а х b , f(х) 0 вычисляется по формуле см. рис. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу , то её площадь вычисляется по формуле , см. рис. При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи: а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис. ) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис. ). Площадь находится по формуле . в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у = (х) (рис. )

5 ученик: Решим задачу

х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0

7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе - со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F - сила Н; х -абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F , а k -коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,

где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).

5. ДЛИНА ДУГИ

Пусть плоская кривая АВ (рис.) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) - непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)

где а и b-значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.

6. ЦЕНТР МАСС

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле

(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х" равна .

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 < ... <х n = b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (х k - 1) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна

Тема исследования

Применение интегрального исчисления в планировании расходов семьи

Актуальность проблемы

Все чаще в социальных и экономических сферах при вычислении степени неравенства в распределении доходов используется математика, а именно, интегральное исчисление. Изучая практическое применение интеграла мы узнаем:

• Как интеграл и вычисление площади с помощью интеграла помогает в распределении материальных затрат?

• Как интеграл поможет в накоплении денег на отпуск.

Цель

спланировать расходы семьи с использованием интегрального вычисления

Задачи

• Изучить геометрический смысл интеграла.
• Рассмотреть методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
• Составить прогноз материальных затрат семьи при ремонте квартиры с использованием интеграла.
• Рассчитать объем потребления энергии семьи на год с учетом интегрального исчисления.
• Расчитать сумму накопительного вклада в Сбербанк на отпуск.

Гипотеза

интегральное исчисление помогает в экономичных расчетах при планировании доходов и расходов семьи.

Этапы исследования

• Изучили геометрический смысл интеграла и методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
• Произвели расчет материальных затрат, необходимых при ремонте квартиры с помощью интеграла.
• Расчитали объем потребления электроэнегрии в квартире и затраты на электроэнергию семьи на год.
• Рассмотрели один из вариантов полонения доходов семьи через вклады в Сбербанк с помощью интеграла.

Объект исследования

инегральное исчисление в социальной и экономических сферах жизни.

Методы

• Анализ литературы по теме "Практическое применение интгрального исчисления"
• Изучение методов интегрирования при решении задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
• Анализ расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления.

Ход работы

• Обзор литературы по теме "Практическое применение интегрального исчисления"
• Решение системы задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
• Расчет расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления: ремонт комнаты, объем электроэнергии, вклады в Сбербанк на отпуск.

Наши результаты

Как интеграл и вычисление объема с помощью интеграла помогает в прогнозировании объемов потребления электроэнергии?

Выводы

• Экономический расчет необходимых средств при ремонте квартиры можно быстрее и более точно выполнить с помощью интегрального вычисления.

• Расход объемов электроэнергии семьи легче и быстрее рассчитать с помощью интегрального вычисления и программы Microsoft Office Excel, а значит прогнозировать затраты семьи на оплату электроэнергии на год.

• Прибыль от вкладов в сбербанк можно рассчитать с помощью интегрального вычисления, значит спланировать отпуск семьи.

Список ресурсов

Печатные издания:

• Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А.Г. Мордкович. Мнемозина. М: 2007
• Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А. Колмогоров Просвещение. М: 2007
• Математика для социологов и экономистов. Ахтямов А.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
• Интегральное вычисление.Справочник по Высшей Математике М. Я. Выгодского, Просвещение, 2000