• Абсолютный победитель Всероссийского конкурса «Учитель года России - 2007».
• Почётный работник образования Российской Федерации
• Двукратный Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации Министерства образования и науки РФ
• Член Федеральной комиссии по разработке контрольно-измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена по математике (2009-2010), эксперт Федеральной предметной комиссии ЕГЭ по математике (2011-2012, 2013-2014), заместитель председателя региональной предметной комиссии ГИА по математике 2012-2014).

Пьянкова Ольга Сергеевна, учитель математики школы, Элекмонар Уважаемые Дмитрий Дмитриевич и команда проекта «ДАЕГЭ»!
Спасибо за создание такого замечательного электронного ресурса для помощи преподавателю. Теперь у меня есть возможность проводить уроки, консультации, дополнительные занятия с использованием подробных видео уроков. Ваши уроки выстроены грамотно, продуманы до мелочей. А «присутствие» на уроке Дмитрия Дмитриевича придаёт мне уверенности, делает мои уроки интереснее, содержательнее. Используя тесты, конспекты, видео, заметила, что значительно сократилось время для подготовки к урокам математики и консультациям. Ведь не надо готовить задания для контрольных и самостоятельных работ, составлять тесты. Просто бери готовый конспект к каждому уроку, домашние задания, основанные на базе заданий ЕГЭ с системой проверки, контрольные работы и пользуйся!!!
Ваш труд неоценим!!! Еще раз - СПАСИБО!

Лепихина Ольга Викторовна, учитель математики, Ижевск Зашла на курс "ДАЕГЭ" , посмотрела несколько видео, порешала несколько тестов и контрольную работу. Очень полезные и нужные материалы, видеоуроки с подробными объяснениями и самое главное тесты с режимом проверки онлайн. Учащимся это нравится, так как результат можно увидеть сразу и разобрать ошибки. Очень полезно, что перед каждым тестом есть разбор заданий и можно посмотреть видео столько раз, сколько нужно ученику - в своем режиме. У Вас замечательная команда, которая пытается облегчить труд учителя и помогает учителю в работе со всеми категориями учеников.

Ксения Владимировна, учитель математики, Ижевск При беглом просмотре очень впечатляет, объемом и качеством.
Для сельских ребят это серьезная помощь, а так же тем кому не повезло с учителем...
очень хорошая идея: иметь возможность покупать интересующее занятие, а не всё
И ещё радует цена....
Спасибо!

Майсурадзе Виктория Владимировна, учитель математики, Междуреченск Спасибо большое Дмитрию Дмитриевичу за все, что он делает. Его сайт Решу ЕГЭ и данный ресурс это палочка-выручалочка при работе.
При нынешней нагрузке совсем не хватает времени заниматься чем-то еще, кроме проверки тетрадей. Спасают только такие ресурсы. Спасибо.

Егорова Виктория Валерьевна, учитель математики, Елабуга Нет слов, чтобы выразить благодарность. Очень-очень замечательный материал, я бы даже назвала его учебно-методическим комплексом. Весь материал строго систематизирован и представлен практически по всем заданиям экзамена. Здесь есть и повторение, и необходимый теоретический материал, и тестовые задания, и даже контрольные работы по блоку уроков. Очень хочется найти место всему этому на своих уроках.

Насибуллина Зульфия Салаватовна, учитель математики, Малояз Просмотрев сайт Даегэ, удостоверилась что можно здесь решать тесты онлайн совместно с обучающимися. Предложила своим ученикам ваш сайт, названия курсов. Я думаю, что мы активно будем работать с сайтом. До этого мы активно использовали сайт РЕШУ ЕГЭ, РЕШУ ОГЕ. Брали оттуда тесты и также решали онлайн. Спасибо создателям сайта, что помогаете учителям и учащимся, ведь не у всех есть возможности выехать на курсы или заниматься у репетитора.

Анна Каро, учащаяся Спасибо за такой интересный проект. Классно помогает!
Особенно в последние дни перед ЕГЭ:) Отличная система для отличных результатов.

Сурина Зоя Петровна, учитель математики, Москва Уважаемые коллеги! Спасибо за интересный и содержательный материал.
Считаю курс подготовки к ЕГЭ по математике доступным, кратким, рациональным и полезным.
Надеюсь,что и решение более сложных задач будет понятным и увлекательным для выпускников.

Култышева Ольга Валерьевна, учитель математики, Саратов Здравствуйте! Вашим сайтом пользуюсь уже несколько лет, как при подготовке к ЕГЭ в 10-11 классах, так и при изучении тем в в классах, начиная с 5. Увидев, что можно записаться на курс "ДАЕГЭ", решила попробовать. Познакомилась с курсом. Мне очень понравилось. Было бы хорошо иметь этот курс всегда под рукой. Спасибо Вам!

Бусова И. И., учитель математики, Новосибирск Добрый день коллеги!
Замечательный и полезный ресурс!!!
Уроки тщательно проработаны, все грамотно, четко, последовательно, подробно и ясно. Учебный материал строго систематизирован. Курс - огромная помощь как для учеников, так и для преподавателей. Огромное спасибо!!!

Решу ГИА 2017 9 класс, такой поисковый запрос интересует тех, кто начал подготовку к ГИА онлайн на основе наших учебников, решебников и ГДЗ. Наш сайт является архивом и сборником всех вариантов ГИА за последние годы и содержит все задания, которые встретятся вам на итоговой аттестации. Решать варианты ОГЭ придется в течение всего года, отдавать этому занятию по 2 – 3 часа ежедневно. Так необходимо поступать для закрепления материала и точного контроля успеваемости на этапе подготовки к ГИА. Когда мы говорим “решу ГИА по математике”, то, как правило, подразумеваем варианты, которые разработал и внедрил Дмитрий Гущин. Именно он создал сайт, где собрал все тесты ОГЭ по математике с ответами, где можно в удобном режиме решать варианты ОГЭ и проверять свои навыки в решении уравнений и задач.

Сдам ГИА онлайн, экспресс подготовка к итоговой аттестации

Решу ГИА 2017 онлайн это проверенный сборник упражнений, где можно остановиться на теме подробнее, оказать помощь другу и повторить пройденный материал. Значение русского языка в жизни человека сложно переоценить. Мы все общаемся, передаем информацию друг другу, читаем газеты и бульварную прессу, где все новостные статьи написаны на русском языке. Именно по этому мы используем в учебном процессе тесты и задания для подготовки к ГИА-2017 по русскому языку. Для более глубокого восприятия информации рекомендуются решебники и рабочие тетради, которые также можно скачать на нашем сайте. Решу ГИА Гущин 9 класс является эффективным способом проверить себя и качество преподавания с средних специальных учебных заведениях Российской Федерации.

ГИА по русскому языку, тесты и задания для подготовки к ГИА-2017

Варианты ГИА решать онлайн заставляла нас учительница по русскому языку Алевтина Ивановна Синичко в 2017 году, когда мы молодые и задорные бегали по прохладным лужам во дворе нашей школы №346 города Москвы. Она была права, нужно было стимулировать учеников заниматься больше, решать теоремы, доказывать уравнения с тремя неизвестными и гордиться тем, что ты учился в московской школе. В те юные годы мы слабо понимали значимость ГИА по математике и надеялись, что все шалости сойдут нам с рук, но прошло время и настал судный день, когда пришел спаситель и сказал “Решу ГИА Гущин” и все ученики пали ниц перед ним.

Теперь, когда минули десятилетия, мы с улыбкой вспоминаем нашу государственную итоговую аттестацию и думаем о том, как мы боялись, как надеялись на высокий средний балл, как мечтали поступить в МГУ имени Ломоносова. Теперь наш взгляд на жизнь изменился и мы видим с высоты прожитых лет, что достаточно было сказать “Решу ГИА 2017 9 класс по Гущину” и все двери были бы распахнуты для такого смелого абитуриента. Вы скажете “Ересь!”, я отвечу “Да!”. Однако напомню, что следует подучить ответы, иначе экзамен вам не сдать.

Вам так же будут интересны

• ГИА 2017 и изменения в процедуре аттестации - вот главные темы, которые волнуют всех школьников с приближением сезона экзаменов в 2017 […]
• ОГЭ 2017 Математика 9 класс Три модуля Минаева это тематические тестовые задания собранные в одном издании для оперативной подготовки […]
• Решать тесты по математике 9 класс 2017 сейчас самое время ведь ОГЭ не за горами и тесты по математике с ответами как раз пригодятся нам […]
• КИМы по математике ЕГЭ 2017 9 класс это контрольно измерительные материалы, которые основательно востребованы и популярны на просторах […]

Не так много осталось времени у выпускников девятых классов, прежде чем нужно будет сдавать основной государственный экзамен. Это очень важный этап в жизни, поскольку многие ученики отправятся учиться в техникумы и колледжи, а для поступления на желанное бюджетное место нужно хорошо сдать тесты. Решу ОГЭ 9 класс – просто незаменимый сайт. Он поможет гораздо быстрее подготовиться к тестированию, чем при самостоятельных занятиях, чтобы сдать его на самую высокую оценку «5».

Как подготовиться к экзаменам?

Для того чтобы подготовиться к экзаменам, школьники используют разные методы. Это касается изучения дополнительной литературы, занятий с профессиональным репетитором, а также дополнительных уроков со школьным учителем.

Все равно самым эффективным методом считается, несомненно, использование специализированных сайтов, как «Решу ОГЭ». Он помогают подготовиться как детям из пятого, так и для 9 класса.

Сайт Решу ОГЭ

Почему этот сервис настолько популярен? Он дает возможность почувствовать то же самое, как в случае с самим экзаменом. Для подготовки даются тесты с прошлых годов, ведь по статистике большинство «новых» заданий будут очень схожи с теми, что были в прошлых годах.

Важным достоинство является то, что вам не потребуется каждый раз решать билеты комплексно, если в этом нет необходимости. Можно выполнять отдельно задания по конкретной теме, что будет очень удобно, если вам нужно подготовиться по конкретным знаниям.

Как найти нужную информацию на сайте?

Что видит любой посетитель, как только зайдет на портал? В самом верху странички находится шапка сайта, а под ней в удобных иконках расположились названия тех предметов, которые можно выбрать для экзамена. В первую очередь, расположились следующие:

• математика;
• физика;
• химия;
• русский язык;
• информатика.

Дисциплины

Этот перечень неполный, потому чтобы отыскать необходимый предмет, к которому потребуется подготовиться, достаточно только зайти на сайт. Можно будет сразу выбрать нужную дисциплину и тогда на портале покажется вся информация, посвященная этому предмету.

Под списком предметов расположились пятнадцать популярных билетов, отобранных модераторами, как показательные.

Варианты тестов

Если ученик пройдет только их, а потом разберет свои ошибки вместе с преподавателем, то это в несколько раз увеличит его шансы на успешное решение ОГЭ для 9 класса.

Вариант № 6561231

Регистрация нового пользователя

Такое желание как решу ОГЭ за 9 класс является естественным для любого школьника. Для этого нужна хорошая подготовка. Чтобы пользоваться всем сервисом с уже решенными заданиями в полном объеме, нужно обязательно пройти процесс регистрации. Это даст возможность не только проходить столько тестов, сколько только захочется, но и вести свою статистику.

Статистика в личном кабинете

Она позволит понять, с какими заданиями нужно дополнительно поработать, чтобы существенно поднять уровень знаний до необходимого уровня. Также можно открыть доступ к этим данным учителю или репетитору, чтобы тот мог определить, на какие темы лучше всего обратить внимания ученика и что проработать дополнительно.

Данные при регистрации

Для прохождения регистрации для сайта Решу ОГЭ 9 класс, важно указать определенные данные пользователя, среди которых следующие:

• адрес электронной почты;
• пароль;
• учитель или ученик.

Самое главное в этом случае будет указать электронную почту. Поскольку по зарегистрированному адресу начнет приходить полезная информация для пользователя. Дополнительно стоит отметить такую возможность, что если ученик забудет свой пароль, то с помощью электронной почты можно будет восстановить эту информацию. Это значит, что на адрес отправится новый временный код, который можно будет потом заменить.

Каталог популярных заданий

Каталог заданий

После того, как пользователь успешно зарегистрировался на сайте Решу ОГЭ 9 класс, а именно ученики этого класса будут полностью подготовлены к экзаменам. В списке слева можно найти кнопку с надписью «Каталог заданий» и после чего перейти по ней.

Там все задания уже разделены по темам, и можно смело переходить в то место, с какой информацией нужно дополнительно проработать. Например, выбрать «Действия с обыкновенными дробями». Переходя по этой ссылке, ученик ознакомиться со списком заданий, которые, возможно, у него будут на экзамене.

Полезная информация для экспертов

Школа Экспертов

На этот сайт заходят не только ученики, но и преподаватели, которые впоследствии будут заниматься проверкой заданий. Поскольку каждый бланк должен быть проверен так же, как и сотни тысяч других без предвзятого отношения к ученику.

Чтобы ознакомиться с информацией подробнее, важно перейти по вкладке «Эксперту». Там имеются конкретные методические указания для проверки каждого задания. Также для тренировки можно заняться проверкой конкретно выбранных заданий, а после получить комментарии к выставлению оценки: как правильнее сделать, и каким образом не допустить ошибки в следующий раз.

Уникальный сайт «Решу ОГЭ» поможет эффективнее подготовиться к проведению основного государственного экзамена. Каждый ученик будет точно знать, чего ожидать на тестировании, а все экзаменаторы будут ознакомлены с требованиями по проверке работ.

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог - 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

• часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
• часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k 1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.

Ответ: –0,25.

Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.

Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

преобразования числовых рациональных выражений;

преобразования алгебраических выражений и дробей;

преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

действия со степенями;

преобразование логарифмических выражений;

1. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Ответ: 65.

Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x = –8.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.

Ответ: 24.

При каких a система неравенств

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .

в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.

Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27

значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.

Решайте задачи из ОГЭ и повторяйте теорию. Ежедневные практические занятия помогут вам сдать экзамены с высокими баллами.

Характеристика

Данное приложение было создано специально для школьников, которые готовятся к «Основному государственному экзамену». Как известно, школьная программа с каждым годом становится все сложнее и сложнее.

В связи с этим занятий в классе бывает недостаточно. Для того чтобы подготовиться к экзаменам, можно обратиться за помощью к репетиторам и практиковаться в специализированных приложения.

В данной программа представлено 15 тренировочный вариантов ОГЭ. Они обновляются каждый месяц, так что вы сможете всегда быть уверенными в актуальности данных.

Особенности

Во время подготовки к ОГЭ все средства хороши. Решая многочисленные типавые задания, школьник существенно повышает свои шансы на успешную сдачу экзаменов по самым разным предметам.

Готовьтесь к математике, информатике, физике и других дисциплинам, просто решая тесты, предложенные программой. Программа очень удобная тем, что регулярно ведет статистику по выученным и проблемным темам. Таким образом, пользователь всегда будет знать свои слабые стороны и сможет уделить больше внимания конкретным предметам.

Помимо всего прочего, в приложении представлен теоретический материал по русскому языку.