Объемы пир. Объем пирамиды

h - высота пирамиды

S - площадь основания ABCDE

V - объем пирамиды

В геометрии пирамидой называют тело, которое имеет в основании многоугольник, а все его грани представляют собой треугольники с общей вершиной. В зависимости от того, какая именно фигура лежит в основании, пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. Кроме того, различают правильные, усеченные, прямоугольные и произвольные пирамиды. Формула для вычисления объема этого тела не отличается сложностью и всем известна из школьного курса геометрии.

Классическим примером использования пирамид в архитектуре являются египетские гробницы фараонов, многие из которых имеют именно такую форму. Следует заметить, что аналогичные сооружения (хотя и несколько видоизмененные) встречаются и в других частях света и странах, например, в Мексике и Китае, причем характерно, что практически везде являются или усыпальницами, или культовыми сооружениями. Конечно, при их проектировании древние архитекторы вряд ли стремились определить объем своих детищ, а вот их «последователям» делать это наверняка приходится.

Современные зодчие также порой создают пирамидальные здания , в которых чаще всего располагаются объекты социально-культурного назначения (торгово-развлекательные комплексы, выставочные галереи и т.п.), и при этом рассчитывать объем этих сооружений необходимо для того, чтобы они соответствовали принятым строительным нормам, правилам и нормативам. Кроме того, точное значение этой величины требуется для того, чтобы наиболее рационально разместить в строении инженерные коммуникации.

В последние годы все большую популярность завоевывают теплицы, имеющие форму пирамиды . Чаще всего они возводятся из прозрачного поликарбоната и, как утверждают их разработчики, имеют существенные преимущества перед традиционными. Поскольку при одной и той же общей площади основания объем содержащегося в них воздуха примерно в три раза меньше, то и нагревается он существенно быстрее. К тому же, распределяется он более рационально, поскольку пространства для самого теплого газа, скапливающегося вверху, в пирамидальной теплице также меньше.

Пирамиды часто можно встретить и в обычных квартирах, загородных домах и коттеджах. Их форму нередко имеют раструбы кухонных вытяжек, использующихся для эффективного отвода из помещений горячего воздуха, дыма и гари. В виде усеченных пирамид часто изготавливаются те элементы вентиляционных систем, которые применяются для сочленения воздуховодов, обладающих различным сечением.

Одной из самых популярных головоломок является так называемая «пирамидка Мефферта », которую нередко называют «тетраэдром Рубика », хотя венгерский архитектор и изобретатель не имеет к ней никакого отношения. Каждая из ее граней разделена на девять разноцветных правильных треугольников, и цель играющего состоит в том, чтобы привести игрушку в такой вид, чтобы на каждой отдельной грани все ее элементы имели одинаковый цвет.

Прямоугольной называется пирамида, одно из ребер которой перпендикулярно ее основанию, то есть стоит под углом 90˚. Это ребро является одновременно и высотой прямоугольной пирамиды. Формулу объема пирамиды впервые вывел Архимед.

Вам понадобится

• - ручка;
• - бумага;
• - калькулятор.

Инструкция

• В прямоугольной пирамиде высотой будет ее ребро, которое стоит под углом 90˚ к основанию. Как правило, площадь основания прямоугольной пирамиды обозначают как S, а высоту, которая одновременно является ребром пирамиды, − h. Тогда, чтобы найти объем этой пирамиды, необходимо площадь ее основания умножить на высоту и разделить на 3. Таким образом, объем прямоугольной пирамиды вычисляется с помощью формулы: V=(S*h)/3.

Прочитайте условие задачи. Допустим, дана прямоугольная пирамида ABCDES. В ее основании лежит пятиугольник, площадь которого 45 см². Длина высоты SE равна 30 см.

• Постройте пирамиду, следуя заданным параметрам. Ее основание обозначьте латинскими буквами ABCDE, а вершину пирамиды - S. Так как чертеж получится на плоскости в проекции, то для того, чтобы не запутаться, обозначьте уже известные вам данные: SE=30см; S(ABCDE)=45 см².
• Вычислите объем прямоугольной пирамиды, используя формулу. Подставив данные и сделав подсчеты, получится, что объем прямоугольной пирамиды будет равен: V=(45*30)/3=см³.
• Если в условии задачи нет данных о площади основания и высоте пирамиды, то нужно провести дополнительные вычисления для получения этих величин. Площадь основания будет вычисляться в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.
• Высоту пирамиды узнаете, если известна гипотенуза любого из прямоугольных треугольников EDS или EAS и угол, под которым наклонена боковая грань SD или SA к ее основанию. Вычислите катет SE по теореме синусов. Он и будет являться высотой прямоугольной пирамиды.

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

У данного многогранника есть множество различных свойств:

• Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
• Площади боковых граней одинаковы;
• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
• Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.

Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:

То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.

Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a = 6 см. Боковая грань пирамиды равна b = 8 см. Найдите объем пирамиды.

Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:


Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h . Она будет равна:

Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:

Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:

Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.

Чтобы найти объем пирамиды, нужно знать несколько формул. Рассмотрим их.

Как найти объем пирамиды – 1-ый способ

Объем пирамиды можно узнать с помощью высоты и площади ее основания. V = 1/3*S*h. Так, например, если высота пирамиды 10 см, а площадь ее основания 25 см 2 , то объем будет равен V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83.3 см 3

Как найти объем пирамиды – 2-ой способ

Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то найти ее объем можно по следующей формуле: V = na 2 h/12*tg(180/n), где а – сторона лежащего в основании многоугольника, а n – количество его сторон. Например: В основании лежит правильный шестиугольник, то есть n = 6. Так как он правильный, все его стороны равно, то есть все a равны. Скажем a = 10, а h – 15. Вставляем числа в формулу и получаем приблизительный ответ – 1299 см 3

Как найти объем пирамиды – 3-ий способ

Если в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = ha 2 /4√3, где а – сторона равностороннего треугольника. Например: высота пирамиды – 10 см, сторона основания – 5 см. Объем будет равен V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Обычно то, что получилось в знаменателе не вычисляют и оставляют в таком же виде. Можно также умножить и числитель, и знаменатель на 4√ 3. Получим 1000√ 3/48. Сократив получим 125√ 3/6 см 3 .

Как найти объем пирамиды – 4-ый способ

Если в основании пирамиды лежит квадрат, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = 1/3*h*a 2 , где a – сторон квадрата. Например: высота – 5 см, сторона квадрата – 3 см. V = 1/3*5*9 = 15 см 3

Как найти объем пирамиды – 5-ый способ

Если пирамида является тетраэдром, то есть у нее все грани – равносторонние треугольники, найти объем пирамиды можно по следующей формуле: V = a 3 √2/12, где a – ребро тетраэдра. Например: ребро тетраэдра = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 см 3

Главной характеристикой любой геометрической фигуры в пространстве является ее объем. В данной статье рассмотрим, что собой представляет пирамида с треугольником в основании, а также покажем, как находить объем треугольной пирамиды - правильной полной и усеченной.

Что это - треугольная пирамида?

Каждый слышал о древних египетских пирамидах, тем не менее они являются четырехугольными правильными, а не треугольными. Объясним, как получить треугольную пирамиду.

Возьмем произвольный треугольник и соединим все его вершины с некоторой одной точкой, расположенной вне плоскости этого треугольника. Образованная фигура будет называться треугольной пирамидой. Она показана на рисунке ниже.

Как видно, рассматриваемая фигура образована четырьмя треугольниками, которые в общем случае являются разными. Каждый треугольник - это стороны пирамиды или ее грань. Эту пирамиду часто называют тетраэдром, то есть четырехгранной объемной фигурой.

Помимо сторон, пирамида также обладает ребрами (их у нее 6) и вершинами (их 4).

с треугольным основанием

Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

• ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
• боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.

Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

треугольной пирамиды

Определить объем совершенно любой пирамиды с произвольным n-угольником в основании можно с помощью следующего выражения:

Здесь символ S o обозначает площадь основания, h - это высота фигуры, проведенная к отмеченному основанию из вершины пирамиды.

Поскольку площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны a на апофему h a , опущенную на эту сторону, то формула объема треугольной пирамиды может быть записана в следующем виде:

V = 1/6 × a × h a × h

Для общего типа определение высоты является непростой задачей. Для ее решения проще всего воспользоваться формулой расстояния между точкой (вершиной) и плоскостью (треугольным основанием), представленной уравнением общего вида.

Для правильной имеет конкретный вид. Площадь основания (равностороннего треугольника) для нее равна:

Подставляем ее в общее выражение для V, получаем:

V = √3/12 × a 2 × h

Частным случаем является ситуация, когда у тетраэдра все стороны оказываются одинаковыми равносторонними треугольниками. В этом случае определить его объем можно, только исходя из знания параметра его ребра a. Соответствующее выражение имеет вид:

Усеченная пирамида

Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.

Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.

Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Здесь h - высота фигуры, A и a - длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.

Решение задачи

Чтобы приведенная информация в статье была понятнее для читателя, покажем на наглядном примере, как пользоваться некоторыми из записанных формул.

Пусть объем треугольной пирамиды равен 15 см 3 . Известно, что фигура является правильной. Следует найти апофему a b бокового ребра, если известно, что высота пирамиды составляет 4 см.

Поскольку известны объем и высота фигуры, то можно воспользоваться соответствующей формулой для вычисления длины стороны ее основания. Имеем:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 см

Рассчитанная длина апофемы фигуры получилась больше ее высоты, что справедливо для пирамиды любого типа.