Помните, что скорость задается как численным значением, так и направлением. Скорость описывает быстроту изменения положения тела, а также направление, в котором движется это тело. Например, 100 м/с (на юг).
Найдите общее перемещение, то есть расстояние и направление между начальной и конечной точками пути. В качестве примера рассмотрим тело, движущееся с постоянной скоростью в одном направлении.
- Например, ракета была запущена в северном направлении и двигалась в течение 5 минут с постоянной скоростью 120 метров в минуту. Чтобы вычислить общее перемещение, воспользуйтесь формулой s = vt: (5 минут) (120 м/мин) = 600 м (на север) .
- Если в задаче дано постоянное ускорение, воспользуйтесь формулой s = vt + ½at 2 (в следующем разделе описывается упрощенный способ работы с постоянным ускорением).
Найдите общее время в пути. В нашем примере ракета перемещается в течение 5 минут. Среднюю скорость можно выразить в любых единицах измерения, но в международной системе единиц скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Конвертируйте минуты в секунды: (5 минут) х (60 секунд/минута) = 300 секунд .
- Если даже в научной задаче время дано в часах или других единицах измерения, лучше сначала вычислить скорость, а затем преобразовать ее в м/с.
Вычислите среднюю скорость. Если вы знаете значение перемещения и общее время в пути, вычислить среднюю скорость можно по формуле v ср = Δs/Δt. В нашем примере средняя скорость ракеты равна 600 м (на север) / (300 секунд) = 2 м/с (на север) .
- Не забудьте указать направление движения (например, «вперед» или «на север»).
- В формуле v ср = Δs/Δt символ «дельта» (Δ) означает «изменение величины», то есть Δs/Δt означает «изменение положения к изменению времени».
- Средняя скорость может быть записана как v ср или как v с горизонтальной чертой сверху.
Решение более сложных задач, например, если тело вращается или ускорение не является постоянным. В этих случаях средняя скорость по-прежнему вычисляется как отношение общего перемещения к общему времени. Не имеет значения, что происходит с телом между начальной и конечной точками пути. Вот несколько примеров задач с одинаковым общим перемещением и общим временем (а, следовательно, и одинаковой средней скоростью).
- Анна идет на запад со скоростью 1 м/с в течение 2 секунд, затем мгновенно ускоряется до 3 м/с и продолжает идти на запад в течение 2 секунд. Ее общее перемещение составляет (1 м/с)(2 с) + (3 м/с)(2 с) = 8 м (на запад). Общее время в пути: 2 с + 2 с = 4 с. Ее средняя скорость: 8 м / 4 с = 2 м/с (на запад) .
- Борис идет на запад со скоростью 5 м/с в течение 3 секунд, затем разворачивается и идет на восток со скоростью 7 м/с в течение 1 секунды. Мы можем рассматривать движение на восток как «отрицательное движение» на запад, поэтому общее перемещение равно (5 м/с)(3 с) + (-7 м/с)(1 с) = 8 метров. Общее время равно 4 с. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад) .
- Юля проходит 1 метр на север, затем проходит 8 метров на запад, а затем проходит 1 метр на юг. Общее время в пути составляет 4 секунды. Нарисуйте схему этого движения на бумаге, и вы увидите, что оно заканчивается в 8 метрах к западу от начальной точки, то есть общее перемещение равно 8 м. Общее время в пути составило 4 секунды. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад) .
Средней скоростью называется скорость, которая получается, если весь путь поделить на время, за которое объект преодолел этот путь. Формула средней скорости:
- V ср = S/t.
- S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
- V ср = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)
Чтобы не путаться с часами и минутами, переводим все минуты в часы: 15 мин. = 0,4 час, 36 мин. = 0,6 час. Подставляем числовые значения в последнюю формулу:
- V ср = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 км/час
Ответ: средняя скорость V ср = 13,3 км/час.
Как найти среднюю скорость движения с ускорением
Если скорость в начале движения отличается от скорости в его конце, такое движение называют ускоренным. Причём далеко не всегда тело действительно двигается всё быстрее и быстрее. Если движение замедляется, всё равно говорят, что оно движется с ускорением, только ускорение будет уже отрицательным.
Иными словами, если автомобиль, трогаясь с места, через секунду разогнался до скорости 10 м/сек, то его ускорение а равно 10 м в секунду за секунду а = 10 м/сек². Если в следующую секунду автомобиль остановился, то его ускорение тоже равно 10 м/сек², только уже со знаком минус: а = -10 м/сек².
Скорость движения с ускорением в конце временного отрезка вычисляется по формуле:
- V = V0 ± at,
где V0 - начальная скорость движения, a - ускорение, t - время, за которое наблюдалось данное ускорение. Плюс или минус в формуле ставится в зависимости от того, увеличивалась скорость или уменьшалась.
Средняя скорость за отрезок времени t вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скорости:
- V ср = (V0 + V) / 2.
Находим среднюю скорость: задача
Шарик толкнули по ровной плоскости с начальной скоростью V0 = 5 м/сек. Через 5 сек. шарик остановился. Чему равны ускорение и средняя скорость?
Конечная скорость шарика V = 0 м/сек. Ускорение из первой формулы равно
- а = (V - V0)/ t = (0 - 5)/ 5 = - 1 м/сек².
Средняя скорость V ср = (V0 + V) / 2= 5 /2 = 2,5 м/сек.
Задачи на среднюю скорость (далее СК). Мы уже рассматривали задания на прямолинейное движение. Рекомендую посмотреть статьи " " и " " . Типовые задания на среднюю скорость это группа задач на движение, они включены в ЕГЭ по математике и такая задача вполне вероятно может оказаться перед вами в момент самого экзамена. Задачки простые, решаются быстро.
Смысл таков: представьте объект передвижения, например автомобиль. Он проходит определённые участки пути с разной скоростью. На весь путь затрачивается какое-то определённое время. Так вот: средняя скорость это такая постоянная скорость с которой автомобиль преодолел бы данный весть путь за это же время То есть формула средней скорости такова:
Если участков пути было два, тогда
Если три, то соответственно:
*В знаменателе суммируем время, а в числителе расстояния пройденные за соответствующие им отрезки времени.
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Как уже сказано необходимо весь путь разделить на всё время движения. В условии сказано о трёх участках пути. Формула:
Обозначим весь пусть S. Тогда первую треть пути автомобиль ехал:
Вторую треть пути автомобиль ехал:
Последнюю треть пути автомобиль ехал:
Таким образом
Решите самостоятельно:
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
В условии сказано о трёх участках пути. СК будем искать по формуле:
Участки пути нам не даны, но мы можем без труда их вычислить:
Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.
Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.
Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.
Вычисляем скорость:
Решите самостоятельно:
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 120 км - со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км - со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Сказано о трёх участках пути. Формула:
Протяжённость участков дана. Определим время, которое автомобиль затратил на каждый участок: на первый затрачено 120/60 часов, на второй участок 120/80 часов, на третий 150/100 часов. Вычисляем скорость:
Решите самостоятельно:
Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км - со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км - со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
*Есть задача про путешественника, который пересёк море. С решением у ребят возникают проблемы. Если вы не видите его, то пройдите регистрацию на сайте! Кнопка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 323 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Есть средние величины, неправильное определение которых вошло в анекдот или в притчу. Любые неверно произведённые расчёты комментируются расхожей общепонятной ссылкой на такой заведомо абсурдный результат. У каждого, к примеру, вызовет улыбку саркастического понимания фраза "средняя температура по больнице". Однако те же знатоки нередко, не задумываясь, складывают скорости на отдельных отрезках пути и делят подсчитанную сумму на число этих участков, чтобы получить столь же бессмысленный ответ. Напомним из курса механики средней школы, как найти среднюю скорость правильным, а не абсурдным способом.
Аналог "средней температуры" в механике
В каких случаях каверзно сформулированные условия задачи подталкивают нас к поспешному необдуманному ответу? Если говорится о "частях" пути, но не указывается их протяжённость, это настораживает даже мало искушённого в решении подобных примеров человека. А вот если в задаче прямо указывается на равные промежутки, например, "первую половину пути поезд следовал со скоростью...", или "первую треть пути пешеход прошагал соскоростью...", и далее подробно расписывается, как объёкт передвигался на оставшихся равных участках, то есть известно соотношение S 1 = S 2 = ... = S n и точные значения скоростей v 1, v 2, ... v n , наше мышление нередко даёт непростительную осечку. Считается среднее арифметическое скоростей, то есть все известные значения v складываются и делятся на n . В итоге ответ получается неверный.
Простые "формулы" расчёта величин при равномерном движении
И для всего пройденного пути, и для отдельных его участков в случае усреднения скорости справедливы соотношения, написанные для равномерного движения :
- S = vt (1), "формула" пути;
- t=S/v (2), "формула" расчёта времени движения;
- v=S/t (3), "формула" определения средней скорости на участке пути S , пройденном за время t .
То есть для нахождения искомой величины v с использованием соотношения (3) нам нужно точно знать две другие. Именно решая вопрос, как найти среднюю скорость движения, мы прежде всего должны определить, каков весь пройденный путь S и каково всё время движения t .
Математическое обнаружение скрытой ошибки
В решаемом нами примере пройденный телом (поездом или пешеходом) путь будет равен произведению nS n (так как мы n раз складываем равные участки пути, в приведённых примерах - половинки, n = 2 , или трети, n = 3 ). О полном же времени движения нам ничего не известно. Как определить среднюю скорость, если знаменатель дроби (3) явно не задан? Воспользуемся соотношением (2), для каждого участка пути определим t n = S n: v n . Сумму рассчитанных таким образом промежутков времени запишем под чертой дроби (3). Ясно, что, для того чтобы избавиться от знаков "+", нужно приводить все S n: v n к общему знаменателю. В результате получается "двухэтажная дробь". Далее пользуемся правилом: знаменатель знаменателя идёт в числитель. В итоге, для задачи с поездом после сокращения на S n имеем v ср = nv 1 v 2: v 1 + v 2 , n = 2 (4) . Для случая с пешеходом вопрос -, как найти среднюю скорость, решается ещё сложнее: v ср = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1 , n = 3 (5).
Явное подтверждение ошибки "в числах"
Для того чтобы "на пальцах" подтвердить, что определение среднего арифметического - ошибочный путь при расчёте v ср , конкретизируем пример, заменив абстрактные буквы числами. Для поезда возьмём скорости 40 км/ч и 60 км/ч (ошибочный ответ - 50 км/ч ). Для пешехода - 5 , 6 и 4 км/ч (среднее арифметическое - 5 км/ч ). Нетрудно убедиться, подставив значения в соотношения (4) и (5), что верными ответами будут для локомотива 48 км/ч и для человека - 4,(864) км/ч (периодическая десятичная дробь, результат математически не слишком красивый).
Когда среднее арифметическое "не подводит"
Если задача формулируется так: "За равные промежутки времени тело двигалось сначала со скоростью v 1 , затем v 2 , v 3 и так далее", быстрый ответ на вопрос, как найти среднюю скорость, может быть найден неправильным способом. Предоставим читателю самостоятельно в этом убедиться, просуммировав в знаменателе равные промежутки времени и воспользовавшись в числителе v ср соотношением (1). Это, пожалуй, единственный случай, когда ошибочный метод приводит к получению корректного результата. Но для гарантированно точных расчётов нужно пользоваться единственно правильным алгоритмом, неизменно обращаясь к дроби v ср = S: t .
Алгоритм на все случаи жизни
Для того чтобы наверняка избежать ошибки, при решении вопроса, как найти среднюю скорость, достаточно запомнить и выполнить простую последовательность действий:
- определить весь путь, просуммировав длины отдельных его участков;
- установить всё время пути;
- поделить первый результат на второй, неизвестные, не заданные в задаче величины при этом (при условии корректной формулировки условий) сокращаются.
В статье рассмотрены простейшие случаи, когда исходные данные приводятся для равных долей времени или равных участков пути. В общем случае соотношение хронологических промежутков либо пройденных телом расстояний может быть самым произвольным (но при этом математически определённым, выраженным конкретным целым числом или дробью). Правило обращения к соотношению v ср = S: t абсолютно универсально и никогда не подводит, сколь бы сложные на первый взгляд алгебраические преобразования ни приходилось выполнять.
Напоследок отметим: для наблюдательных читателей не осталась незамеченной практическая значимость использования верного алгоритма. Правильно рассчитанная средняя скорость в приведённых примерах оказалась несколько ниже "средней температуры" на трассе. Поэтому ложный алгоритм для систем, фиксирующих превышения скорости, означал бы большее число ошибочных постановлений ГИБДД, высылаемых в "письмах счастья" водителям.
