Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		пересекаются в одной точке .
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного середина гипотенузы .
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
		,
Площадь треугольника		S = 2R 2 sin A sin B sin C ,
Радиус описанной окружности		Для любого треугольника справедливо равенство:

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке .

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы .

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R 2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Цели урока:

• Углубить знания по теме «Описанная окружности в треугольниках»

Задачи урока:

• Систематизировать знания по этой теме
• Подготовиться к решению задач повышенной сложности.

План урока:

1. Введение.
2. Теоретическая часть.
3. Для треугольника.
4. Практическая часть.

Введение.

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

Теоретическая часть.

Описанная окружность многоугольника - окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Для треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну . Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри , у тупоугольного - вне треугольника , у прямоугольного - на середине гипотенузы .

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам:

Где:
a,b,c - стороны треугольника,
α - угол, лежащий против стороны a,
S - площадь треугольника.

Доказать:

т.О - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔABC

Доказательство:

1. ΔAОC - равнобедренный, т.к. ОА=ОС (как радиусы)
2. ΔAОC - равнобедренный, перпендикуляр OD - медиана и высота, т.е. т.О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС
3. Аналогично доказывается, что т.О лежит на серединных перпендикулярах к сторонам АВ и ВС

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.

В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.

Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…

Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.

Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.

Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.

Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника

Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.

Как найти радиус вписанной окружности

Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.

Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.

Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник

Формула 1:

Радиус окружности, которая вписана в ромб

Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.

Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.

Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.

Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.

Радиус окружности, которая вписана в треугольник

В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):

П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.

Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.

А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в

Формула 5: R =А * √3/6.

Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник

Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.

В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.

С = √(А²+Б²).

Радиус окружности, которая вписана в квадрат

Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.

Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.

Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.

Вам понадобится

• Треугольник с заданными параметрами
• Циркуль
• Линейка
• Угольник
• Таблица синусов и косинусов
• Математические понятия
• Определение высоты треугольника
• Формулы синусов и косинусов
• Формула площади треугольника

Инструкция

Начертите треугольник с нужными параметрами. Треугольник либо по трем сторонам, либо по двум сторонам и углу между ними, либо по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначьте вершины треугольника как А, В и С, углы - как α, β, и γ, а противолежащие вершинам углом стороны - как а, b и c.

Проведите ко всем сторонам треугольника и найдите точку их пересечения. Обозначьте высоты как h с соответствующими сторонам индексами. Найдите точку их пересечения и обозначьте ее О. Она и будет являться центром окружности. Таким образом, радиусами этой окружности будут являться отрезки ОА, ОВ и ОС.

Радиус найти по двум формулам. Для одной вам необходимо сначала вычислить . Она равна всех сторон треугольника на синус любого из углов, деленному на 2.

В этом случае радиус описанной окружности вычисляется по формуле

Для другой достаточно длину одной из сторон и синус противолежащего угла.

Вычислите радиус и опишите треугольника окружность.

Полезный совет

Вспомните, что такое высота треугольника. Это перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне.

Площадь треугольника может быть представлена и как произведение квадрата одной из сторон на синусы двух прилежащих углов, деленное на удвоенный синус суммы этих углов.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Источники:

• таблица с радиусами описанной окружности
• Радиус окружности, описанной около равностороннего

Считается описанной вокруг многоугольника в том случае, если она касается всех его вершин. Что примечательно, центр подобной окружности совпадает с точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон многоугольника. Радиус описанной окружности полностью зависит от того многоугольника, вокруг которого она описана.

Вам понадобится

• Знать стороны многоугольника, его площадь/периметр.

Инструкция

Обратите внимание

Вокруг многоугольника можно описать окружность только в том случае, если он правильный, т.е. все его стороны равны и все его углы равны.
Тезис, гласящий, что центром описанной вокруг многоугольника окружности является пересечение его серединных перпендикуляров, справедлив для всех правильных многоугольников.

Источники:

• как найти радиус многоугольника

Если для многоугольника удается построить и описанную окружности, то площадь этого многоугольника меньше площади описанной окружности, но больше площади вписанной окружности. Для некоторых многоугольников известны формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.

Инструкция

Вписанной в многоугольник окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Для треугольника радиуса окружности: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для формула упрощается: r = a/(2*3^1/2), а - сторона треугольника.

Описанной вокруг многоугольника называется такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Для треугольника радиус находится по формуле: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного проще: R = a/3^1/2.

Для многоугольников не всегда возможно выяснить соотношение радиусов вписанных и и длин его сторон. Чаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а затем физического радиуса окружностей с помощью измерительных приборов или векторного пространства.
Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы двух его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины любого угла многоугольника. Центр вписанной на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры срединными). Достаточно построить два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.

Видео по теме

Обратите внимание

В произвольно заданный многоугольник нельзя вписать окружность и описать окружность вокруг него.

Полезный совет

В четырехугольник можно вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d - стороны четырехугольника по порядку. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если противоположные его углы в сумме дают 180 градусов;

Для треугольника такие окружности всегда существуют.

Совет 4: Как найти по трем сторонам площадь треугольника

Поиск площади треугольника - одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.

Вам понадобится

• длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов

Инструкция

Формула Герона для площади треугольника следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можно вывести формулу для площади треугольника и из соображений, например, применив теорему косинусов.

По теореме косинусов AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Используя введенные обозначения, эти можно также в виде: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Отсюда, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площадь треугольника находится также по формуле S = a*c*sin(ABC)/2 через две стороны и угол между ними. Синус угла ABC можно выразить через его с помощью основного тригонометрического тождества: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.

Видео по теме

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат - это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника . В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с . Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную - полупериметр (Р). Из , что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Рассчитайте площадь (S) по формуле Герона - извлеките корень из произведения полупериметра на разность между ним и длиной каждой из сторон. В общем виде ее можно записать так: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Для практических расчетов удобно пользоваться специализированными -калькуляторами. Это скрипты, размещенные на серверах некоторых сайтов, которые проделают все необходимые расчеты на основе координат, введенных вами в соответствующую форму. Единственный такого сервиса - он не дает объяснений и обоснований для каждого шага вычислений. Поэтому, если вас интересует только конечный результат, а не вычисления в общем виде, перейдите, например, на страницу http://planetcalc.ru/218/.

В поля формы введите каждую координату каждой из вершин треугольника - они здесь как Ax, Ay, Az и т.д. Если треугольник задан двухмерными координатами, в поля - Az, Bz и Cz - пишите ноль. В поле «Точность вычисления» установите нужное число знаков после запятой, кликая мышкой плюса или минуса. Помещенную под формой оранжевую кнопку «Рассчитать» нажимать не обязательно, вычисления будут произведены и без этого. Ответ вы найдете рядом с надписью «Площадь треугольника » - она размещена сразу под оранжевой кнопкой.

Источники:

• найдите площадь треугольника с вершинами в точках

Иногда около выпуклого многоугольника можно начертить таким образом, чтобы вершины всех углов лежали на ней. Такую окружность по отношению к многоугольнику надо называть описанной. Ее центр не обязательно должен находиться внутри периметра вписанной фигуры, но пользуясь свойствами описанной окружности , найти эту точку, как правило, не очень трудно.

Вам понадобится

• Линейка, карандаш, транспортир или угольник, циркуль.

Инструкция

Если многоугольник, около которого нужно описать окружность, начерчен на бумаге, для нахождения центр а круга достаточно линейки, карандаша и транспортира либо угольника. Измерьте длину любой из сторон фигуры, определите ее середину и поставьте в этом месте чертежа вспомогательную точку. С помощью угольника или транспортира проведите внутри многоугольника перпендикулярный этой стороне отрезок до пересечения с противоположной стороной.

Проделайте эту же операцию с любой другой стороной многоугольника. Пересечение двух построенных отрезков и будет искомой точкой. Это вытекает из основного свойства описанной окружности - ее центр в выпуклом многоугольнике с любым сторон всегда лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к этим

Окружность – геометрическая фигура, знакомство с которой происходит еще в дошкольном возрасте. Позднее вы узнаете ее свойства и характерные особенности. Если вершины произвольного многоугольника лежат на окружности, а сама фигура располагается внутри нее, то перед вами геометрическая фигура, вписанная в окружность.

Понятие радиус характеризует расстояние от любой точки окружности до ее центра. Последний располагается в месте пересечения перпендикуляров к каждой из сторон многоугольника. Определившись с терминологией, рассмотрим выражения, которые помогут найти радиус для любого вида многоугольника.

Как найти радиус описанной окружности – правильный многоугольник

Данная фигура может иметь любое количество вершин, но все ее стороны равны между собой. Для нахождения радиуса окружности, в которую поместили правильный многоугольник, достаточно знать число сторон фигуры и их длину.
R = b/2sin(180°/n),
b – длина стороны,
n – число вершин (или сторон) фигуры.
Приведенное соотношение для случая шестиугольника будет иметь следующий вид:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.

Как найти радиус описанной окружности – прямоугольник

Когда в окружности располагается четырехугольник, имеющий 2 пары параллельно проходящих сторон и внутренние углы 90°, точка пересечения диагоналей многоугольника и будет ее центром. Воспользовавшись соотношением Пифагора, а также свойствами прямоугольника, получаем необходимые для нахождения радиуса выражения:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – стороны прямоугольника,
d – его диагональ.

Как найти радиус описанной окружности – квадрат

Помещаем в окружность квадрат. Последний является правильным многоугольником, имеющим 4 стороны. Т.к. квадрат является частным случаем прямоугольника, то его диагонали также в точке своего пересечения делятся пополам.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – сторона квадрата,
d – его диагональ.

Как найти радиус описанной окружности – равнобокая трапеция

Если в окружность поместили трапецию, то для определения радиуса потребуется знание длин ее сторон и диагонали.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – стороны трапеции,
d – ее диагональ.

Как найти радиус описанной окружности – треугольник

Произвольный треугольник

• Чтобы определить радиус окружности, описывающей треугольник, достаточно знать величину его сторон.
  R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
  p = (m + l + k)/2,
  m, l, k – стороны треугольника.
• Если известна длина стороны и градусная мера угла ей противолежащего, то радиус определяется следующим образом:
  Для треугольника MLK
  R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
  
  M, L, K – его углы (вершины).
• При наличии площади фигуры также можно вычислить радиус окружности, в которую она помещена:
  R = m*l*k/4S,
  m, l, k – стороны треугольника,
  S – его площадь.

Равнобедренный треугольник

Если треугольник равнобедренный, то 2 его стороны равны между собой. При описывании такой фигуры радиус можно найти по такому соотношению:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), но m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – стороны треугольника.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, а около фигуры описана окружность, то для определения длины радиуса последней потребуется наличие известных сторон треугольника.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – катеты,
k – гипотенуза.