Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса к учебникам
Макарычева Ю.Н. Алимова Ш.А. Мордковича А.Г. Муравина Г.К.

Так что же такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия – рекуррентно заданная числовая прогрессия.

Давайте запишем рекуррентную форму: $a_{1}=a$; $a_{n}=a_{n-1}+d$, число d – разность прогрессии. а и d – определенные заданные числа.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой $а=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой $а=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5… Арифметическая прогрессия, у которой $а=5, d=0$.

Арифметическая прогрессия обладает свойствами монотонности, если разность прогрессии больше нуля, то последовательность возрастающая, если разность прогрессии меньше нуля, то последовательность убывающая.

Если в арифметической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной арифметической прогрессией.

Если задана последовательность $a_{n}$, и она является арифметической прогрессией, то принято обозначать: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Давайте вернемся к нашим примерам и запишем нашу формулу для каждого из примеров.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой а=1, d=3. $a_{n}=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой а=3, d=-3. $a_{n}=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дана арифметическая прогрессия: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.
а) Известно, что $a_{1}=5$, $d=3$. Найти $a_{23}$.
б) Известно, что $a_{1}=4$, $d=5$, $a_{n}=109$. Найти n.
в) Известно, что $d=-1$, $a_{22}=15$. Найти $a_{1}$.
г) Известно, что $a_{1}=-3$, $a_{10}=24$. Найти d.
Решение.
а) $a_{23}=a_{1}+22d=5+66=71$.
б) $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_{22}=a_{1}+21d=a_{1}-21=15=> a_{}1=36$.
г) $a_{10}=a_{1}+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном остается 7, а при делении девятого члена на пятый в частном получается 2, а в остатке 5. Найти тридцатый член прогрессии.
Решение.
Запишем последовательно формулы 2,5 и 9 членов нашей прогрессии.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{5}=a_{1}+4d$.
$a_{9}=a_{1}+8d$.
Также из условия знаем:
$a_{9}=7a_{2}$.
$a_{9}=2a_{5}+5$.
Или:
$a_{1}+8d=7(a_{1}+d)$.
$a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}a_{1}+8d=7(a_{1}+d)\\a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5\end{cases}$.
$\begin{cases}d=6a_{1}\\d=a_{1}+5\end{cases}$.
Решив систему получаем: $d=6, a_{1}=1$.
Найдем $a_{30}$.
$a_{30}=a_{1}+29d=175$.

Сумма конечной арифметической прогрессии

Пусть нам дана арифметическая прогрессия 1,2,3,4,5…100.
Сумма ее членов тогда представим вот так:
$S_{n}=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но схожая формула применима для любой арифметической прогрессии:
$a_{3}+a_{n-2}=a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+a_{n}$.
Давайте запишем нашу формулу в общем случае: $a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}$, где $k<1$.
Давайте выведем формулу для вычисления суммы членов арифметической прогрессии, запишем два раза формулу в разных порядках:
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+⋯+a_{2}+a_{1}$.
Сложим между собой эти формулы:
$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+⋯+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$.
В правой части нашего равенства n слагаемых, и мы знаем, что каждый из них равен $a_{1}+a_{n}$.
Тогда:
$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.
Так же нашу формулу можно переписать в виде: так как $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,
то $S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n$.
Чаще всего удобнее пользоваться именно этой формулой, поэтому хорошо бы ее запомнить!

Пример. Дана конечная арифметическая прогрессия.
Найти:
а) $s_{22},если a_{1}=7, d=2$.
б) d,если $a_{1}=9$, $s_{8}=144$.
Решение.
а) Воспользуемся второй формулой суммы $S_{22}=\frac{2a_{1}+d(22-1)}{2}*22=\frac{14+2(22-1)}{2}*22=616$.
б) В этом примере воспользуемся первой формулой: $S_{8}=\frac{8(a_{1}+a_{1})}{2}=4a_{1}+4a_{8}$.
$144=36+4a_{8}$.
$a_{8}=27$.
$a_{8}=a_{1}+7d=9+7d$.
$d=2\frac{4}{7}$.

Пример. Найти сумму всех нечетных двухзначных чисел.
Решение.
Члены нашей прогрессии представляют собой: $a_{1}=11$, $a_{2}=13$, …, $a_{n}=99$.
Давайте найдем номер последнего члена прогрессии:
$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Теперь найдем сумму: $S_{45}=\frac{45(11+99)}{2}=2475$.

Пример. Ребята отправились в поход. Известно, что за первый час они прошли 500 м, после они стали проходить на 25 метров меньше, чем в первый час. За сколько часов они пройдут 2975 метров?
Решение.
Путь, пройденный за каждый час можно представить в виде арифметической прогрессии:
$a_{1}=500$, $a_{2}=475$, $a_{3}=450…$.
Разность арифметической прогрессии равна $d=-25$.
Путь, пройденный в 2975 метров представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
$S_{n}=2975$, где n - часы потраченные на путь.
Тогда:
$S_{n}=\frac{1000-25(n-1)}{2}$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Разделим обе части на 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_{1}=7$, $n_{2}=34$.
Очевидно, что логичнее выбрать $n=7$.
Ответ. Ребята были в пути 7 часов.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Тогда можно смело говорить, что это арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией, когда каждый член этой прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов нашей прогрессии (не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена прогрессии).

Пример. Найти такие х, что $3х+2$; $x-1$; $4x+3$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.
Решение. Воспользуемся нашей формулой:
$x-1=\frac{3x+2+4x+3}{2}$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac{2}{5}=-1,4$.
Проверим, наши выражения примут вид: -2,2; -2,4; -2,6.
Очевидно что, это члены арифметической прогрессии и $d=-0,2$.

Задачи для самостоятельного решения

Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .

Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .

Обозначение арифметической прогрессии

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.

Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).

Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.

Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)

Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:

Ответ: \(b_5=23\)

Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

Ответ: \(-3\)

Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:

Ответ: \(7,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(S_6=9\).

Пример (ОГЭ). В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(d=7\).

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:

Ответ: \(b_{246}=1850\).

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где

\(a_n\) – последний суммируемый член;

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(S_{25}=1090\).

Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\), где

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример. Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Ответ: \(S_{33}=-231\).

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)

Пример (ОГЭ). Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Ответ: \(S_{65}=-630,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:

Ответ: \(S=1683\).

Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt{2};\ 2\sqrt{2};\ 3\sqrt{2};...$

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число .

Судите сами. Первый набор — это просто идущие подряд числа, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Во втором случае разница между рядом стоящими числами уже равна пяти, но эта разница всё равно постоянна. В третьем случае вообще корни. Однако $2\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}$, а $3\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}$, т.е. и в этом случае каждый следующий элемент просто возрастает на $\sqrt{2}$ (и пусть вас не пугает, что это число — иррациональное).

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. Сама величина, на которую отличаются числа, называется разностью прогрессии и чаще всего обозначается буквой $d$.

Обозначение: $\left({{a}_{n}} \right)$ — сама прогрессия, $d$ — её разность.

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Во-вторых, сама последовательность может являться как конечной, так и бесконечной. К примеру, набор {1; 2; 3} — это, очевидно, конечная арифметическая прогрессия. Но если записать что-нибудь в духе {1; 2; 3; 4; ...} — это уже бесконечная прогрессия. Многоточие после четвёрки как бы намекает, что дальше идёт ещё довольно много чисел. Бесконечно много, например.:)

Ещё хотел бы отметить, что прогрессии бывают возрастающими и убывающими. Возрастающие мы уже видели — тот же набор {1; 2; 3; 4; ...}. А вот примеры убывающих прогрессий:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt{5};\ \sqrt{5}-1;\ \sqrt{5}-2;\ \sqrt{5}-3;...$

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

Определение. Арифметическая прогрессия называется:

1. возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего;
2. убывающей, если, напротив, каждый последующий элемент меньше предыдущего.

Кроме того, существуют так называемые «стационарные» последовательности — они состоят из одного и того же повторяющегося числа. Например, {3; 3; 3; ...}.

Остаётся лишь один вопрос: как отличить возрастающую прогрессию от убывающей? К счастью, тут всё зависит лишь от того, каков знак числа $d$, т.е. разности прогрессии:

1. Если $d \gt 0$, то прогрессия возрастает;
2. Если $d \lt 0$, то прогрессия, очевидно, убывает;
3. Наконец, есть случай $d=0$ — в этом случае вся прогрессия сводится к стационарной последовательности одинаковых чисел: {1; 1; 1; 1; ...} и т.д.

Попробуем рассчитать разность $d$ для трёх убывающих прогрессий, приведённых выше. Для этого достаточно взять любые два соседних элемента (например, первый и второй) и вычесть из числа, стоящего справа, число, стоящее слева. Выглядеть это будет вот так:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt{5}-1-\sqrt{5}=-1$.

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ {{a}_{1}},\ {{a}_{2}},{{a}_{3}},... \right\}\]

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

\[{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=d\Rightarrow {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d\]

Короче говоря, чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно знать $n-1$-й член и разность $d$. Такая формула называется рекуррентной, поскольку с её помощью можно найти любое число, лишь зная предыдущее (а по факту — все предыдущие). Это очень неудобно, поэтому существует более хитрая формула, которая сводит любые вычисления к первому члену и разности:

\[{{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d\]

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Задача №1. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$, если ${{a}_{1}}=8,d=-5$.

Решение. Итак, нам известен первый член ${{a}_{1}}=8$ и разность прогрессии $d=-5$. Воспользуемся только что приведённой формулой и подставим $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d; \\ & {{a}_{1}}={{a}_{1}}+\left(1-1 \right)d={{a}_{1}}=8; \\ & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+\left(2-1 \right)d={{a}_{1}}+d=8-5=3; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+\left(3-1 \right)d={{a}_{1}}+2d=8-10=-2. \\ \end{align}\]

Ответ: {8; 3; −2}

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен. Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике.

Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.

Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:

\[{{a}_{7}}=-40;\quad {{a}_{17}}=-50.\]

\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{7}}={{a}_{1}}+6d \\ & {{a}_{17}}={{a}_{1}}+16d \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}+6d=-40 \\ & {{a}_{1}}+16d=-50 \\ \end{align} \right.\]

Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}+16d-\left({{a}_{1}}+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & {{a}_{1}}+16d-{{a}_{1}}-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\ & d=-1. \\ \end{align}\]

Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:

\[\begin{matrix} {{a}_{1}}+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ {{a}_{1}}-6=-40; \\ {{a}_{1}}=-40+6=-34. \\ \end{matrix}\]

Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:

\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=-34-1=-35; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+2d=-34-2=-36. \\ \end{align}\]

Готово! Задача решена.

Ответ: {−34; −35; −36}

Обратите внимание на любопытное свойство прогрессии, которое мы обнаружили: если взять $n$-й и $m$-й члены и вычесть их друг из друга, то мы получим разность прогрессии, умноженную на число $n-m$:

\[{{a}_{n}}-{{a}_{m}}=d\cdot \left(n-m \right)\]

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Решение. Поскольку ${{a}_{5}}=8,4$, ${{a}_{10}}=14,4$, а нужно найти ${{a}_{15}}$, то заметим следующее:

\[\begin{align} & {{a}_{15}}-{{a}_{10}}=5d; \\ & {{a}_{10}}-{{a}_{5}}=5d. \\ \end{align}\]

Но по условию ${{a}_{10}}-{{a}_{5}}=14,4-8,4=6$, поэтому $5d=6$, откуда имеем:

\[\begin{align} & {{a}_{15}}-14,4=6; \\ & {{a}_{15}}=6+14,4=20,4. \\ \end{align}\]

Ответ: 20,4

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?

Решение. Итак, ${{a}_{1}}=-38,5$, ${{a}_{2}}=-35,8$, откуда сразу находим разность:

Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.

Попробуем выяснить: до каких пор (т.е. до какого натурального числа $n$) сохраняется отрицательность членов:

\[\begin{align} & {{a}_{n}} \lt 0\Rightarrow {{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac{7}{27}\Rightarrow {{n}_{\max }}=15. \\ \end{align}\]

Последняя строчка требует пояснения. Итак, нам известно, что $n \lt 15\frac{7}{27}$. С другой стороны, нас устроят лишь целые значения номера (более того: $n\in \mathbb{N}$), поэтому наибольший допустимый номер — это именно $n=15$, а ни в коем случае не 16.

Задача №5. В арифметической прогрессии ${{}_{5}}=-150,{{}_{6}}=-147$. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии.

Это была бы точь-в-точь такая же задача, как и предыдущая, однако нам неизвестно ${{a}_{1}}$. Зато известны соседние члены: ${{a}_{5}}$ и ${{a}_{6}}$, поэтому мы легко найдём разность прогрессии:

Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & {{a}_{5}}={{a}_{1}}+4d; \\ & -150={{a}_{1}}+4\cdot 3; \\ & {{a}_{1}}=-150-12=-162. \\ \end{align}\]

Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow {{n}_{\min }}=56. \\ \end{align}\]

Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.

Обратите внимание: в последнем задании всё свелось к строгому неравенству, поэтому вариант $n=55$ нас не устроит.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Рассмотрим несколько последовательных членов возрастающей арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$. Попробуем отметить их на числовой прямой:

Я специально отметил произвольные члены ${{a}_{n-3}},...,{{a}_{n+3}}$, а не какие-нибудь ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}}$ и т.д. Потому что правило, о котором я сейчас расскажу, одинаково работает для любых «отрезков».

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

\[\begin{align} & {{a}_{n-2}}={{a}_{n-3}}+d; \\ & {{a}_{n-1}}={{a}_{n-2}}+d; \\ & {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}+d; \\ \end{align}\]

Однако эти равенства можно переписать иначе:

\[\begin{align} & {{a}_{n-1}}={{a}_{n}}-d; \\ & {{a}_{n-2}}={{a}_{n}}-2d; \\ & {{a}_{n-3}}={{a}_{n}}-3d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{n+3}}={{a}_{n}}+3d; \\ \end{align}\]

Ну и что с того? А то, что члены ${{a}_{n-1}}$ и ${{a}_{n+1}}$ лежат на одном и том же расстоянии от ${{a}_{n}}$. И это расстояние равно $d$. То же самое можно сказать про члены ${{a}_{n-2}}$ и ${{a}_{n+2}}$ — они тоже удалены от ${{a}_{n}}$ на одинаковое расстояние, равное $2d$. Продолжать можно до бесконечности, но смысл хорошо иллюстрирует картинка

Что это значит для нас? Это значит, что можно найти ${{a}_{n}}$, если известны числа-соседи:

\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}}}{2}\]

Мы вывели великолепное утверждение: всякий член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов! Более того: мы можем отступить от нашего ${{a}_{n}}$ влево и вправо не на один шаг, а на $k$ шагов — и всё равно формула будет верна:

\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-k}}+{{a}_{n+k}}}{2}\]

Т.е. мы спокойно можем найти какое-нибудь ${{a}_{150}}$, если знаем ${{a}_{100}}$ и ${{a}_{200}}$, потому что ${{a}_{150}}=\frac{{{a}_{100}}+{{a}_{200}}}{2}$. На первый взгляд может показаться, что данный факт не даёт нам ничего полезного. Однако на практике многие задачи специально «заточены» под использование среднего арифметического. Взгляните:

Задача №6. Найдите все значения $x$, при которых числа $-6{{x}^{2}}$, $x+1$ и $14+4{{x}^{2}}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Поскольку указанные числа являются членами прогрессии, для них выполняется условие среднего арифметического: центральный элемент $x+1$ можно выразить через соседние элементы:

\[\begin{align} & x+1=\frac{-6{{x}^{2}}+14+4{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=\frac{14-2{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=7-{{x}^{2}}; \\ & {{x}^{2}}+x-6=0. \\ \end{align}\]

Получилось классическое квадратное уравнение. Его корни: $x=2$ и $x=-3$ — это и есть ответы.

Ответ: −3; 2.

Задача №7. Найдите значения $$, при которых числа $-1;4-3;{{}^{2}}+1$ составляют арифметическую прогрессию (в указанном порядке).

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

\[\begin{align} & 4x-3=\frac{x-1+{{x}^{2}}+1}{2}; \\ & 4x-3=\frac{{{x}^{2}}+x}{2};\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6={{x}^{2}}+x; \\ & {{x}^{2}}-7x+6=0. \\ \end{align}\]

Снова квадратное уравнение. И снова два корня: $x=6$ и$x=1$.

Ответ: 1; 6.

Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?

Допустим, в задаче №6 мы получили ответы −3 и 2. Как проверить, что эти ответы верны? Давайте просто подставим их в исходное условие и посмотрим, что получится. Напомню, что у нас есть три числа ($-6{{}^{2}}$, $+1$ и $14+4{{}^{2}}$), которые должны составлять арифметическую прогрессию. Подставим $x=-3$:

\[\begin{align} & x=-3\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4{{x}^{2}}=50. \end{align}\]

Получили числа −54; −2; 50, которые отличаются на 52 — несомненно, это арифметическая прогрессия. То же самое происходит и при $x=2$:

\[\begin{align} & x=2\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4{{x}^{2}}=30. \end{align}\]

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

Попробуем выразить «левый хвост» через ${{a}_{n}}$ и $d$, а «правый хвост» через ${{a}_{k}}$ и $d$. Это очень просто:

\[\begin{align} & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{k-1}}={{a}_{k}}-d; \\ & {{a}_{k-2}}={{a}_{k}}-2d. \\ \end{align}\]

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}+{{a}_{k}}=S; \\ & {{a}_{n+1}}+{{a}_{k-1}}={{a}_{n}}+d+{{a}_{k}}-d=S; \\ & {{a}_{n+2}}+{{a}_{k-2}}={{a}_{n}}+2d+{{a}_{k}}-2d=S. \end{align}\]

Проще говоря, если мы рассмотрим в качестве старта два элемента прогрессии, которые в сумме равны какому-нибудь числу $S$, а затем начнём шагать от этих элементов в противоположные стороны (навстречу друг другу или наоборот на удаление), то суммы элементов, на которые мы будем натыкаться, тоже будут равны $S$. Наиболее наглядно это можно представить графически:

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.

Решение. Запишем всё, что нам известно:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}=66; \\ & d=? \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\min . \end{align}\]

Итак, нам неизвестна разность прогрессии $d$. Собственно, вокруг разности и будет строиться всё решение, поскольку произведение ${{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}$ можно переписать следующим образом:

\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=66+d; \\ & {{a}_{12}}={{a}_{1}}+11d=66+11d; \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end{align}\]

Для тех, кто в танке: я вынес общий множитель 11 из второй скобки. Таким образом, искомое произведение представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $d$. Поэтому рассмотрим функцию $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ — её графиком будет парабола ветвями вверх, т.к. если раскрыть скобки, то мы получим:

\[\begin{align} & f\left(d \right)=11\left({{d}^{2}}+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11{{d}^{2}}+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end{align}\]

Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:

график квадратичной функции — парабола

Обратите внимание: минимальное значение эта парабола принимает в своей вершине с абсциссой ${{d}_{0}}$. Конечно, мы можем посчитать эту абсциссу по стандартной схеме (есть же формула ${{d}_{0}}={-b}/{2a}\;$), но куда разумнее будет заметить, что искомая вершина лежит на оси симметрии параболы, поэтому точка ${{d}_{0}}$ равноудалена от корней уравнения $f\left(d \right)=0$:

\[\begin{align} & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & {{d}_{1}}=-66;\quad {{d}_{2}}=-6. \\ \end{align}\]

Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:

\[{{d}_{0}}=\frac{-66-6}{2}=-36\]

Что даёт нам обнаруженное число? При нём требуемое произведение принимает наименьшее значение (мы, кстати, так и не посчитали ${{y}_{\min }}$ — от нас это не требуется). Одновременно это число является разностью исходной прогрессии, т.е. мы нашли ответ.:)

Ответ: −36

Задача №9. Между числами $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$ вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Решение. По сути, нам нужно составить последовательность из пяти чисел, причём первое и последнее число уже известно. Обозначим недостающие числа переменными $x$, $y$ и $z$:

\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ -\frac{1}{2};x;y;z;-\frac{1}{6} \right\}\]

Отметим, что число $y$ является «серединой» нашей последовательности — оно равноудалено и от чисел $x$ и $z$, и от чисел $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$. И если из чисел $x$ и $z$ мы в данный момент не можем получить $y$, то вот с концами прогрессии дело обстоит иначе. Вспоминаем про среднее арифметическое:

Теперь, зная $y$, мы найдём оставшиеся числа. Заметим, что $x$ лежит между числами $-\frac{1}{2}$ и только что найденным $y=-\frac{1}{3}$. Поэтому

Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:

Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.

Ответ: $-\frac{5}{12};\ -\frac{1}{3};\ -\frac{1}{4}$

Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Решение. Ещё более сложная задача, которая, однако, решается по той же схеме, что и предыдущие — через среднее арифметическое. Проблема в том, что нам неизвестно, сколько конкретно чисел надо вставить. Поэтому положим для опредлённости, что после вставки всего будет ровно $n$ чисел, причём первое из них — это 2, а последнее — 42. В этом случае искомая арифметическая прогрессия представима в виде:

\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ 2;{{a}_{2}};{{a}_{3}};...;{{a}_{n-1}};42 \right\}\]

\[{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56\]

Заметим, однако, что числа ${{a}_{2}}$ и ${{a}_{n-1}}$ получаются из стоящих по краям чисел 2 и 42 путём одного шага навстречу друг другу, т.е. к центру последовательности. А это значит, что

\[{{a}_{2}}+{{a}_{n-1}}=2+42=44\]

Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:

\[\begin{align} & {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56; \\ & \left({{a}_{2}}+{{a}_{n-1}} \right)+{{a}_{3}}=56; \\ & 44+{{a}_{3}}=56; \\ & {{a}_{3}}=56-44=12. \\ \end{align}\]

Зная ${{a}_{3}}$ и ${{a}_{1}}$, мы легко найдём разность прогрессии:

\[\begin{align} & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=12-2=10; \\ & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end{align}\]

Осталось лишь найти остальные члены:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}=2; \\ & {{a}_{2}}=2+5=7; \\ & {{a}_{3}}=12; \\ & {{a}_{4}}=2+3\cdot 5=17; \\ & {{a}_{5}}=2+4\cdot 5=22; \\ & {{a}_{6}}=2+5\cdot 5=27; \\ & {{a}_{7}}=2+6\cdot 5=32; \\ & {{a}_{8}}=2+7\cdot 5=37; \\ & {{a}_{9}}=2+8\cdot 5=42; \\ \end{align}\]

Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}=62;\quad d=14; \\ & {{a}_{n}}=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end{align}\]

Ноябрь — это 11-й месяц в году, поэтому нам нужно найти ${{a}_{11}}$:

\[{{a}_{11}}=62+10\cdot 14=202\]

Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.

Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?

Решение. Всё то же самое:

$\begin{align} & {{a}_{1}}=216;\quad d=4; \\ & {{a}_{n}}=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end{align}$

Декабрь — это последний, 12-й месяц в году, поэтому ищем ${{a}_{12}}$:

\[{{a}_{12}}=216+11\cdot 4=260\]

Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.

Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.

Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.

Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.

Разность прогрессии: определение

Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.

d = a(j) – a(j-1).

Выделяют:

• Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
• Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разность прогрессии и ее произвольные элементы

Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разность прогрессии и ее первый член

Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.

Разность прогрессии и ее сумма

Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии